Fonctionnement de l'outil de mesures de distances

CQFD

Fonctionnement de l'outil de mesure

1. Données initiales

Voici les données initiales utilisées pour les calculs de la trajectoire et de l’énergie de la bille :

Vitesse initiale (FPS) : Donnée par l’utilisateur, convertie en m/s.
Poids de la bille (grammes) : Donné par l’utilisateur, converti en kilogrammes.
Diamètre de la bille : 5,95 mm (0,00595 m).
Densité de l’air (ρ) : 1,225 kg/m³.
Viscosité dynamique de l’air (μ) : 1,81 × 10^-5 Pa·s.
Accélération due à la gravité (g) : 9,81 m/s².
Pas de temps (dt) : 0,001 seconde (pour une simulation plus précise).
Vitesse angulaire initiale (ω) : Donnée par l’utilisateur, en rad/s.
Angle de tir : Donné par l’utilisateur, en degrés.

2. Formules utilisées

2.1. Conversion de la vitesse

La vitesse initiale est convertie de FPS en m/s :

v₀ = FPS × 0,3048

2.2. Nombre de Reynolds (Re)

Le nombre de Reynolds est calculé pour déterminer le régime d’écoulement autour de la bille :

Re = (ρ × v × d) / μ

ρ : Densité de l’air (kg/m³).
v : Vitesse instantanée de la bille (m/s).
d : Diamètre de la bille (m).
μ : Viscosité dynamique de l’air (Pa·s).

2.3. Coefficient de traînée (C_d)

Le coefficient de traînée est calculé en fonction du nombre de Reynolds et du spin ratio :

Pour Re < 1 × 10⁵ :

C_d = (24 / Re) + 0,47

Pour Re ≥ 1 × 10⁵ :

C_d = 0,47

Une correction est ajoutée pour prendre en compte le spin :

C_d = C_d + k_d × (spinRatio)²

k_d : Coefficient empirique (par exemple, 0,1).
spinRatio : Ratio du spin de la bille.

2.4. Coefficient de portance (C_L)

Le coefficient de portance est calculé en fonction du spin ratio :

C_L = k_L × spinRatio

k_L : Coefficient empirique (par exemple, 1,2).

2.5. Calcul du spin ratio

Le spin ratio est calculé comme suit :

spinRatio = (r × ω) / v

r : Rayon de la bille (m).
ω : Vitesse angulaire de la bille (rad/s).
v : Vitesse instantanée de la bille (m/s).

2.6. Force de traînée (F_d)

La force de traînée est donnée par :

F_d = (1/2) × ρ × C_d × A × v²

A : Surface frontale de la bille (A = π × r²).

2.7. Force de portance (F_L)

La force de portance générée par l’effet Magnus est donnée par :

F_L = (1/2) × ρ × C_L × A × v²

2.8. Accélérations

Les accélérations en x et y sont calculées :

a_x = (F_{d_x} + F_{L_x}) / m

a_y = (F_{d_y} + F_{L_y}) / m – g

F_{d_x} et F_{d_y} : Composantes de la force de traînée.
F_{L_x} et F_{L_y} : Composantes de la force de portance.
m : Masse de la bille (kg).

2.9. Mise à jour des vitesses

Les vitesses en x et y sont mises à jour :

v_x,nouveau = v_x,ancien + a_x × dt

v_y,nouveau = v_y,ancien + a_y × dt

2.10. Mise à jour des positions

Les positions en x et y sont mises à jour :

x_nouveau = x_ancien + v_x,nouveau × dt

y_nouveau = y_ancien + v_y,nouveau × dt

2.11. Décroissance du spin (spin decay)

La vitesse angulaire (ω) décroît en raison du couple de frottement :

τ_friction = 8πμr³ω

L’accélération angulaire est :

α = -τ_friction / I

I : Moment d’inertie de la bille (I = (2/5) × m × r²).

Mise à jour de la vitesse angulaire :

ω_nouveau = ω_ancien + α × dt

2.12. Énergie cinétique

L’énergie cinétique de la bille est calculée par :

E = (1/2) × m × v²

3. Exemple de calcul

3.1. Données initiales

Masse de la bille : 0,20 g = 0,0002 kg.
Vitesse initiale : 300 FPS = 91,44 m/s.
Diamètre de la bille : 5,95 mm = 0,00595 m.
Vitesse angulaire initiale (ω) : 200 rad/s.
Angle de tir : 0°.

3.2. Calcul du spin ratio initial

spinRatio = (r × ω) / v = (0,002975 m × 200 rad/s) / 91,44 m/s ≈ 0,0065

3.3. Calcul du coefficient de portance (C_L)

C_L = 1,2 × spinRatio = 1,2 × 0,0065 ≈ 0,0078

3.4. Calcul du nombre de Reynolds (Re)

Re = (1,225 kg/m³ × 91,44 m/s × 0,00595 m) / (1,81 × 10^-5 Pa·s) ≈ 36 017

3.5. Calcul du coefficient de traînée (C_d)

C_d = (24 / Re) + 0,47 = (24 / 36 017) + 0,47 ≈ 0,4707

Correction pour le spin :

C_d = 0,4707 + 0,1 × (0,0065)² ≈ 0,4707 + 0,0000042 ≈ 0,4707

3.6. Calcul des forces initiales

Surface frontale de la bille :

A = π × r² = π × (0,002975 m)² ≈ 2,78 × 10^-5 m²

Force de traînée :

F_d = (1/2) × 1,225 kg/m³ × 0,4707 × 2,78 × 10^-5 m² × (91,44 m/s)² ≈ 0,689 N

Force de portance :

F_L = (1/2) × 1,225 kg/m³ × 0,0078 × 2,78 × 10^-5 m² × (91,44 m/s)² ≈ 0,0114 N

3.7. Calcul des accélérations initiales

Comme l’angle de tir est de 0°, la vitesse initiale en y est nulle (v_y = 0) et en x, elle est égale à la vitesse initiale (v_x = v).

Accélération en x :

a_x = (-F_d) / m = (-0,689 N) / 0,0002 kg ≈ -3 445 m/s²

Accélération en y :

a_y = (F_L) / m – g = (0,0114 N) / 0,0002 kg – 9,81 m/s² ≈ 57 m/s² – 9,81 m/s² ≈ 47,19 m/s²

3.8. Mise à jour des vitesses

Avec un pas de temps dt = 0,001 s :

Vitesse en x :

v_x,nouveau = 91,44 m/s + (-3 445 m/s² × 0,001 s) ≈ 91,44 m/s – 3,445 m/s ≈ 87,995 m/s

Vitesse en y :

v_y,nouveau = 0 m/s + 47,19 m/s² × 0,001 s ≈ 0,04719 m/s

3.9. Mise à jour des positions

Position en x :

x_nouveau = 0 m + 87,995 m/s × 0,001 s ≈ 0,087995 m

Position en y :

y_nouveau = 1,5 m + 0,04719 m/s × 0,001 s ≈ 1,50004719 m

3.10. Mise à jour de la vitesse angulaire (ω)

Moment d’inertie de la bille :

I = (2/5) × m × r² = (2/5) × 0,0002 kg × (0,002975 m)² ≈ 7,08 × 10^-13 kg·m²

Couple de frottement :

τ_friction = 8π × 1,81 × 10^-5 Pa·s × (0,002975 m)³ × 200 rad/s ≈ 2,02 × 10^-9 N·m

Accélération angulaire :

α = -τ_friction / I = – (2,02 × 10^-9 N·m) / (7,08 × 10^-13 kg·m²) ≈ -2 854 rad/s²

Mise à jour de la vitesse angulaire :

ω_nouveau = 200 rad/s + (-2 854 rad/s² × 0,001 s) ≈ 197,146 rad/s

3.11. Calcul de l’énergie cinétique initiale

E = (1/2) × 0,0002 kg × (91,44 m/s)² ≈ 0,835 J

3.12. Temps total écoulé

Le temps total est mis à jour à chaque pas de temps :

t_nouveau = t_ancien + dt

À ce stade, t_nouveau = 0 s + 0,001 s = 0,001 s.

Ce processus est répété à chaque pas de temps jusqu’à ce que la bille touche le sol (y ≤ 0). Les calculs ci-dessus illustrent comment les différentes forces et mouvements sont mis à jour en fonction des formules physiques pour simuler la trajectoire de la bille en tenant compte de l’effet Magnus et de la décroissance du spin.

HOP UP

Fonctionnement du calcul et de l'ajustement du hop up

Qu’est-ce que le spin et pourquoi est-il important ?

Le spin de la bille : Lorsqu’une bille d’airsoft est tirée, elle tourne sur elle-même. Ce mouvement de rotation est appelé spin.
Effet Magnus : Le spin crée une force appelée Effet Magnus, qui génère de la portance. Cela permet à la bille de voler plus loin et de maintenir une trajectoire plus stable.

Problème initial dans la simulation

Résultats irréalistes : Dans la simulation initiale, la bille continuait à tourner indéfiniment sans perdre de spin, ce qui n’est pas réaliste.
Conséquence : La bille volait trop loin et trop haut, car elle bénéficiait d’une portance excessive sur une longue distance.
Qu’est-ce que la décroissance du Spin (Spin Decay) ?

Perte progressive du spin : En réalité, la bille perd progressivement son spin en raison de la résistance de l’air.
Importance dans la Simulation : Pour avoir une trajectoire réaliste, il est essentiel de modéliser cette perte de spin au fil du temps.

Modifications apportées pour intégrer la décroissance du Spin

a. Ajout d’une formule pour la décroissance du spin

Calcul de la Décroissance : Nous avons ajouté une formule qui réduit le spin de la bille à chaque instant en fonction de la résistance de l’air.
Comment ça marche : Le spin diminue progressivement à chaque petit intervalle de temps (dt) de la simulation.

Exemple simplifié :
omega = omega – (taux_de_décroissance * omega * dt);
omega : Vitesse de rotation de la bille.
taux_de_décroissance : Un nombre qui détermine à quelle vitesse le spin diminue.
dt : Le petit intervalle de temps entre chaque calcul dans la simulation.

b. Ajustement du taux de décroissance

Rendre la décroissance plus rapide : En augmentant le taux_de_décroissance, le spin diminue plus rapidement.
Effet sur la trajectoire : La bille perd sa portance plus tôt, ce qui réduit sa portée et évite qu’elle ne monte trop haut.

Modifications des coefficients de traînée (CD) et de portance (CL)

a. Coefficient de traînée (CD)

Rôle du CD : Représente la résistance de l’air qui ralentit la bille.
Ajustement : Nous avons augmenté le CD en fonction du carré du spin ratio (qui représente l’effet du spin sur la traînée).
But : Plus le spin est élevé, plus la traînée augmente, ce qui ralentit la bille de manière réaliste.

b. Coefficient de Portance (CL)

Rôle du CL : Représente la force qui soulève la bille grâce à l’effet Magnus.
Limitation du CL : Nous avons fixé une valeur maximale pour éviter que la portance ne devienne irréaliste.
Effet : La bille ne monte pas indéfiniment et suit une trajectoire plus réaliste.

Impact des modifications sur la trajectoire de la Bille

Décroissance du spin plus rapide : La bille perd son spin plus vite, donc la portance diminue au fur et à mesure du vol.
Trajectoire plus réaliste : La bille monte initialement grâce à la portance, puis redescend progressivement en raison de la gravité et de la perte de spin.
Portée réduite : En réduisant le spin et en augmentant la traînée, la bille ne parcourt pas une distance irréaliste.

Pourquoi les modifications sur le CD n’affectaient pas la décroissance du Spin ?

Indépendance du Spin Decay : Modifier le CD affecte la résistance de l’air sur la vitesse linéaire de la bille, mais pas directement sur sa vitesse de rotation (spin).
Nécessité d’agir sur le spin directement : Pour accélérer la décroissance du spin, il faut ajuster la formule qui calcule la diminution de omega (la vitesse de rotation), et non seulement le CD.

Simplification des concepts

Spin (Rotation) : La bille tourne sur elle-même, ce qui lui donne de la portance.
Spin Decay (Décroissance du Spin) : Le spin diminue avec le temps à cause de la résistance de l’air.
Effet Magnus : Le spin crée une force qui soulève la bille, lui permettant de voler plus loin.
Traînée (Résistance de l’air) : Ralentit la bille et affecte sa portée.
Portance (Lift) : Force qui fait monter la bille, dépendante du spin.

En résumé

Modifications Clés :
Ajout d’une formule pour que le spin diminue au fil du temps (spin decay).
Ajustement du taux de décroissance pour qu’il soit plus rapide.
Limitation des valeurs maximales pour le spin ratio et les coefficients CD et CL.
But des modifications : Obtenir une simulation qui reflète mieux la réalité, avec des trajectoires de billes cohérentes et des portées réalistes.
Résultat : La bille vole de manière réaliste, monte grâce au spin initial, puis redescend progressivement en perdant son spin et sous l’effet de la gravité.

CQFD